设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．（1）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．
（1）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由． |
答案
（1）f（x）-h（x）=0，等价于x2-2lnx=x2-x+a，即a=x-2lnx
令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-=
∴x∈[1，2]时，g′（x）≤0，函数g（x）=x-2lnx在[1，2]内单调递减；x∈[2，3]时，g′（x）≥0，函数g（x）=x-2lnx在[2，3]内单调递增．
又因为g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3
故2-2ln2＜a≤3-2ln3
（2）∵h（x）=x2-x+a在(0，)单调递减；(，+∞)单调递增
∴f（x）=x2-mlnx也应在(0，)单调递减；(，+∞)单调递增
∵f′(x)=2x-=，
∴当m≤0时，f（x）=x2-mlnx在（0，+∞）单调递增，不满足条件；当m＞0且=，即m=，函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间． |
举一反三
| 设集合A={0，1，2，3}，如果方程x2-mx-n=0（m，n∈A）至少有一个根x0∈A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ） |
| f（x）=|2x-1|，f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn-1（x）），则函数y=f4（x）的零点个数为______． |
| 已知函数f(x)=，则关于x的方程f2（x）-3f（x）+2=0的实根的个数是______． |
| 定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2012x+log2012x，则在R上，函数f（x）零点的个数为______． |
| 在复数范围内，方程x2+x+1=0的根是______． |
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