已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2,则4xy+1xy的最小值是______.
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已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2,则4xy+1xy的最小值是______.
题型:不详
难度:
来源:
已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2,则4xy+
1
xy
的最小值是______.
答案
设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m,
y=
1-n
2
4xy+
1
xy
=2(m-1)(n-1)+
2
(m-1)(n-1)
=2((mn-m-n+1)+
1
mn-m-n+1
)
=2((3-m-n)+
1
3-m-n
)
∵
m+n≥2
mn
=2
2
∴原式的最小值为12
方法二:
∵(1+x)(1+2y)=2,
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥2
2xy
令
2xy
=t>则xy=
t
2
2
即1-t
2
≥2t 则0<t≤
2
-1,则0<t
2
=2xy≤3-2
2
不妨令u=2xy∈(0,3-2
2
]
则4xy+
1
xy
=2u+
2
u
,在区间(0,3-2
2
]上单调递减
故当u=3-2
2
时4xy+
1
xy
取最小值12
故答案为:12
举一反三
设x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是( )
A.
3
2
B.1+
3
C.2
3
-2
D.2-
3
题型:不详
难度:
|
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已知
2
x
+
3
y
=2(x>0,y>0)
,则xy的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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设a>0,b>0.若3是3
a
与3
b
的等比中项,则
1
a
+
1
b
的最小值为( )
A.4
B.2
C.1
D.
1
4
题型:不详
难度:
|
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已知a,b,c是直角三角形的三边,其中c为斜边,若实数M使不等式
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
M
a+b+c
恒成立,则实数M的最大值是( )
A.6+2
3
B.5
+ 3
2
C.6
+2
2
D.9
题型:不详
难度:
|
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已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )
A.2πR
2
B.
9
4
π
R
2
C.
8
3
π
R
2
D.
3
2
π
r
2
题型:广东
难度:
|
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