已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,求实数
题型:解答题难度:一般来源:朝阳区一模
已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,求实数a的取值范围. |
答案
(I)函数定义域为x>0,且f′(x)=2x-(a+2)+=…(2分) ①当a≤0,即≤0时,令f"(x)<0,得0<x<1,函数f(x)的单调递减区间为(0,1), 令f"(x)>0,得x>1,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞). ②当0<<1,即0<a<2时,令f"(x)>0,得0<x<或x>1, 函数f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞). 令f"(x)<0,得<x<1,函数f(x)的单调递减区间为(,1). ③当=1,即a=2时,f"(x)≥0恒成立,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).…(7分) (Ⅱ)①当a≤0时,由(Ⅰ)可知,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),f(x)在(1,2]单调递增. 所以f(x)在(0,2]上的最小值为f(1)=a+1, 由于f()=--+2=(-1)2-+1>0, 要使f(x)在(0,2]上有且只有一个零点, 需满足f(1)=0或解得a=-1或a<-. ②当0<a≤2时,由(Ⅰ)可知, (ⅰ)当a=2时,函数f(x)在(0,2]上单调递增; 且f(e-4)=--2<0,f(2)=2+2ln2>0,所以f(x)在(0,2]上有且只有一个零点. (ⅱ)当0<a<2时,函数f(x)在(,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增; 又因为f(1)=a+1>0,所以当x∈(,2]时,总有f(x)>0. 因为e -<1<a+2, 所以f(e -)=e -[e --(a+2)]+(alne -+2a+2)<0. 所以在区间(0,)内必有零点.又因为f(x)在(0,)内单调递增, 从而当0<a≤2时,f(x)在(0,2]上有且只有一个零点. 综上所述,0<a≤2或a<-或a=-1时,f(x)在(0,2]上有且只有一个零点.…(13分) |
举一反三
已知函数f(x)=x--1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx,零点分别为x1,x2,x3,则( )A.x1<x2<x3 | B.x2<x1<x3 | C.x3<x1<x2 | D.x2<x3<x1 |
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已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. (1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)若a<0,求f(x)的单调区间; (3)若a=-1,函数f(x)的图象与函数g(x)=x3+x2+m的图象有3个不同的交点,求实数m的取值范围. |
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. (1)当m=2时,若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有两个不同的实数解,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调区间?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由. |
设集合A={0,1,2,3},如果方程x2-mx-n=0(m,n∈A)至少有一个根x0∈A,就称该方程为合格方程,则合格方程的个数为( ) |
f(x)=|2x-1|,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),则函数y=f4(x)的零点个数为______. |
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