设函数f(x)=-13x3+x2+(a2-1)x,其中a>0.(1)若函数y=f(x)在x=-1处取得极值,求a的值;(2)已知函数f(x)有3个不同的零点,分

设函数f(x)=-13x3+x2+(a2-1)x,其中a>0.(1)若函数y=f(x)在x=-1处取得极值,求a的值;(2)已知函数f(x)有3个不同的零点,分

题型:解答题难度:一般来源:汕头二模
设函数f(x)=-
1
3
x3+x2+(a2-1)x
,其中a>0.
(1)若函数y=f(x)在x=-1处取得极值,求a的值;
(2)已知函数f(x)有3个不同的零点,分别为0、x1、x2,且x1<x2,若对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)求导函数,可得f′(x)=-x2+2x+(a2-1)
∵函数y=f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=0
∴-1-2+(a2-1)=0
∴a=±2
经检验,a=2符合题意;
(2)由题意,f(x)=-
1
3
x3+x2+(a2-1)x
=x(-
1
3
x2+x+a2-1
)=-
1
3
x(x-x1)(x-x2)

∵函数f(x)有3个不同的零点,分别为0、x1、x2
-
1
3
x2+x+a2-1
=0有两个相异的实根x1、x2
∴△=1+
4
3
(a2-1)
>0,∴a<-
1
2
(舍去),或a>
1
2

且x1+x2=3
∵x1<x2,∴2x2>x1+x2=3,∴x2
3
2
>1
①若x1≤1<x2,则f(1)=-
1
3
(1-x1)(1-x2)
≥0,而f(x1)=0,不符合题意;
②若1<x1<x2,则对任意的x∈[x1,x2],有x-x1≥0,x-x2≤0,
f(x)=-
1
3
x(x-x1)(x-x2)
≥0
又f(x1)=0,∴f(x)在[x1,x2]上的最小值为0
∴对任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,等价于f(1)=a2-
1
3
<0
-


3
3
<a<


3
3

综上可得a的取值范围为(
1
2


3
3
)
举一反三
已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=alnx.
(1)若两曲线y=f(x)与y=g(x)在x=2处的切线互相垂直,求a的值,并判断函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性并写出其单调区间;
(2)若函数ϕ(x)=af(x)+
g(x)
a
的图象与直线y=x至少有一个交点,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=(x2-6x+c1)(x2-6x+c2)(x2-6x+c3),集合M={x|f(x)=0}={x1,x2,x3,x4,x5}⊆N*,设c1≥c2≥c3,则c1-c3=(  )
A.6B.8C.2D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),g(x)=f[f(x)]
①若f(x)无零点,则g(x)>0对∀x∈R成立;
②若f(x)有且只有一个零点,则g(x)必有两个零点;
③若方程f(x)=0有两个不等实根,则方程g(x)=0不可能无解.
其中真命题的个数是______个.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,其图象是一条连续的曲线,且满足下列条件:
①f(x)的值域为G,且G⊆[a,b];
②对任意的x,y∈[a,b],都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.
那么,关于x的方程f(x)=x在区间[a,b]上根的情况是(  )
A.没有实数根B.有且仅有一个实数根
C.恰有两个实数根D.有无数个不同的实数根
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若关于x的方程4x+(a+3)⋅2x+5=0至少有一个实根在区间[1,2]内,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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