(1)由题意:g′(x)=,∴g(x)的图象在x=2切线的斜率为:g′(2)=, 又f′(x)=2(x-1),∴f(x)的图象在x=2切线的斜率为:f′(2)=2, 由两曲线y=f(x)与y=g(x)在x=2处的切线互相垂直得: ×2=-1,∴a=-1, ∴F(x)=f(x)-g(x)=(x-1)2+lnx,(x>0) ∴F′(x)=2x+-2≥2-2>0 即函数F(x)在(0,+∞)上为增函数, (2)ϕ(x)=af(x)+=a(x-1)2+lnx 令h(x)=ϕ(x)-x,由题意得h(x)=0在区间(0,+∞)上至少有一解,h′(x)=,令h"(x)=0,得x1=,x2=1 ①当<0即a<0时,h(x)单调递增区间为(0,1),减区间为(1,+∞), 所以h(x)max=h(1)=-1<0,所以方程h(x)=0无解. ②当>1即0<a<时,h(x)单调递增区间为(0,1),(,+∞),减区间为(1,),所以极大值h(1)=-1,极小值h()<0, 又h(x)=a(x-1)2+lnx-x=a(x-1-)2+lnx--1 ∴h(2+)=a(1+)2+ln(2+)-1-=a+ln(2+)>0,所以方程恰好有一解; ③当a=时,h"(x)≥0,由上②知方程也恰好有一解; ④当a>时,h(x)单调递增区间为(0,),(1,+∞),减区间为(,1), 同上可得方程h(x)=0在(0,+∞)上至少有一解. 综上所述,所求a的取值范围为(0,+∞) |