已知函数f(x)=2x2-10x,(x∈R),问是否存在自然数m,使得方程f(x)+37x=0在区间(m,m+1)内有且仅有两个不等的实数解?若存在,求出m的值
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已知函数f(x)=2x2-10x,(x∈R),问是否存在自然数m,使得方程f(x)+37x=0在区间(m,m+1)内有且仅有两个不等的实数解?若存在,求出m的值
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=2x
2
-10x,(x∈R),问是否存在自然数m,使得方程
f(x)+
37
x
=0
在区间(m,m+1)内有且仅有两个不等的实数解?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案
依题意,问题等价于方程2x
3
-10x
2
+37=0在(m,m+1)内有且仅有两个不等的实数根,
令h(x)=2x
3
-10x
2
+37,
h′(x)=6x
2
-20x=6x(x-
10
3
),
当x∈(0,
10
3
)时,h′(x)<0,h(x)在区间(0,
10
3
)上单调递减;
当x∈(
10
3
,+∞)时,h′(x)>0,h(x)在区间(
10
3
,+∞)上单调递增;…4分
由于h(3)=1>0,h(
10
3
)=-
1
27
<0,h(4)=5>0,…7分
所以方程h(x)=0在(3,
10
3
),(
10
3
,4)内分别有唯一实数根,而在(0,3),(4,+∞)内没有实数根…10分
所以存在唯一自然数m=3使得方程f(x)+
37
x
=0在区间(m,m+1)内有且仅有两个不等的实数解.…12分
举一反三
方程3x
4
-4x
3
-12x
2
+12=0的解的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=1+x-
x
2
2
+
x
3
3
-…+
x
2013
2013
,则函数f(x)在其定义域内的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
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2
-x+a,若函数g(x)=f(x)-x的零点恰有两个,则实数a的取值范围是( )
A.a<0
B.a≤0
C.a≤1
D.a≤0或a=1
题型:单选题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
x
3
-6
x
2
+9x-4,(x≥0)
ln|x|,(x<0)
的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
1
3
x
3
+
1
2
(p-1)
x
2
+qx(p,q
为常数).
(I)若函数f(x)在x=1和x=3处取得极值,试求p,q的值;
(Ⅱ)在(I)的条件下,求证:方程f(x)=1有三个不同的实数根;
(Ⅲ)若函数f (x)在(一∞,x
1
)和(x
2
,+∞)单调递增,在(x
1
,x
2
)上单调递减,又x
2
-x
1
>l,且x
1
>a,试比较a
2
+pa+q与x
1
的大小.
题型:解答题
难度:一般
|
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