已知函数f(x)=13x3+12(p-1)x2+qx(p，q为常数）．（I）若函数f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(p-1)x2+qx(p，q为常数）．
（I）若函数f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求证：方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（Ⅲ）若函数f （x）在（一∞，x₁）和（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，又x₂-x₁＞l，且x₁＞a，试比较a²+pa+q与x₁的大小．

答案

（I）对函数f（x）求导数，得f"（x）=x²+（p-1）x+q
由题意，得x=1和x=3是方程x²+（p-1）x+q=0的两个实数根，则

1+3=-(p-1) 1×3=q

解之得p=-3，q=3．
经检验可得p=-3，q=3符合题意．
（II）由（I）得f（x）=

1

3

x³-2x²+3x，设g（x）=f（x）-1=

1

3

x³-2x²+3x-1
则g"（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
当x＜1或x＞3时，g"（x）＞0；当1＜x＜3时，g"（x）＜0
∴函数g（（x）在区间（-∞，1）和（3，+∞）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数
由此可得g（1）是g（x）的极大值，而g（3）是g（x）的极小值
∵g（1）=

1

3

＞0，g（3）=-1＜0，
∴结合g（0）=-1＜0，g（4）=

1

3

＞0，可得g（x）=0在区间（0，1）、（1，3）、（3，4）上分别有一个零点
由以上证明过程，可得方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）由题意，得x₁、x₂为函数的两个极值点．
即得x₁、x₂为方程x²+（p-1）x+q=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1-p，x₁x₂=q
由已知x₂＞x₁＞a，得x₁-a＞0且x₂-a＞0
而x²+（p-1）x+q=（x-x₁）（x-x₂）
则a²+pa+q-a=a²+（p-1）a+q=（a-x₁）（a-x₂）＞0
∴a²+pa+q-x₁=a²+（p-1）a+q+a-x₁=（a-x₁）（a+1-x₂）
∵x₂-x₁＞l，x₁＞a，得x₂＞l+x₁＞a+l，a+1-x₂＜0
∴a²+pa+q-x₁＞0，可得a²+pa+q＞x₁