已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(a>0).(1)若a=12,求f(x)在[1,+∞)上的最小值(2)若a≠12,求函数f(x)的单调区间

已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(a>0).(1)若a=12,求f(x)在[1,+∞)上的最小值(2)若a≠12,求函数f(x)的单调区间

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
1
2
ax2-(2a+1)x+2lnx(a>0)

(1)若a=
1
2
,求f(x)在[1,+∞)上的最小值
(2)若a≠
1
2
,求函数f(x)的单调区间;
(3)当
1
2
<a<1
时,函数f(x)在区间[1,2]上是否有零点,若有,求出零点,若没有,请说明理由.
答案
(1)当a=
1
2
时,f(x)=
1
4
x2-2x+2lnx(x>0)

f′(x)=
x
2
-2+
2
x
=
(x-2)2
2x
≥0,
∴f(x)在[1,+∞)是增函数,
∴f(x)的最小值为f(1)=-
7
4

(2)∵f′(x)=ax-(2a+1)+
2
x
(x>0).   
即 f′(x)=
(ax-1)(x-2)
x
(x>0).  
1
a
-2=
1-2a
a
,∵a>0,a≠
1
2

∴当0<a<
1
2
时,
1
a
>2,由f′(x)>0得0<x<2或x>
1
a
,由f′(x)<0,得2<x<
1
a

当a>
1
2
时,
1
a
<2
,由f′(x)>0得0<x<
1
a
或x>2,由f′(x)<0,得
1
a
<x<,2;
所以当0<a<
1
2
时,f(x)的单调递增区间是(0,2]和[
1
a
,+∞)
,单调递减区间是[2,
1
a
]

a>
1
2
时,f(x)的单调递增区间是(0,
1
a
]
和[2,+∞),单调递减区间是[
1
a
,2]

(3)先求f(x)在x∈[1,2]的最大值.由(2)可知,
1
2
<a<1
时,f(x)在[1,
1
a
]
上单调递增,在[
1
a
,2]
上单调递减,
f(x)max=f(
1
a
)=-2-
1
2a
-2lna

a>
1
2
可知,lna>ln
1
2
>ln
1
e
=-1
,2lna>-2,-2lna<2,
所以-2-2lna<0,则f(x)max<0,
故在区间[1,2]上f(x)<0.恒成立,
故当a>
1
2
时,函数f(x)在区间[1,2]上没有零点.
举一反三
设函数f(x)=(x+a)1nx-x+a,a∈R.
(Ⅰ)设g(x)=f′(x),求函数g(x)的极值;
(Ⅱ)若a≥
1
e
,试研究函数f(x)=(x+a)1nx-x+a的零点个数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=2x2-10x,(x∈R),问是否存在自然数m,使得方程f(x)+
37
x
=0
在区间(m,m+1)内有且仅有两个不等的实数解?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
方程3x4-4x3-12x2+12=0的解的个数为(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=1+x-
x2
2
+
x3
3
-…+
x2013
2013
,则函数f(x)在其定义域内的零点个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x+a,若函数g(x)=f(x)-x的零点恰有两个,则实数a的取值范围是(  )
A.a<0B.a≤0C.a≤1D.a≤0或a=1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.