已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,且经过点P(1,32).(1)求椭圆C的方程;(2)设F是椭圆C的右焦点,M为椭圆上一点,以M为
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,且经过点P(1,32).(1)求椭圆C的方程;(2)设F是椭圆C的右焦点,M为椭圆上一点,以M为
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的右焦点,M为椭圆上一点,以M为圆心,MF为半径作圆M.问点M满足什么条件时,圆M与y轴有两个交点?
(3)设圆M与y轴交于D、E两点,求点D、E距离的最大值.
答案
(1)∵椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
),
∴
a
2
-
b
2
a
=
1
2
1
a
2
+
9
4b
2
=1
,即
3a2-4b2=0
1
a2
+
9
4b2
=1
,解得
a
2
=4
b
2
=3
,
∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1.
(2)易求得F(1,0).设M(x
0
,y
0
),则
x
20
4
+
y
20
3
=1,-2<x
0
<2
圆M的方程为(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
=(1-x
0
)
2
+y
0
2
,
令x=0,化简得y
2
-2y
0
y+2x
0
-1=0,△=4y
0
2
-4(2x
0
-1)>0①.
将y
0
2
=3(1-
x
20
4
)代入①,得3x
0
2
+8x
0
-16<0,解出-4<x
0
<
4
3
.
∴-2<x
0
<
4
3
.
(3)设D(0,y
1
),E(0,y
2
),其中y
1
<y
2
.由(2),得
DE=y
2
-y
1
=
4y
20
-4(
2x
0
-1)
=
-3
x
20
-8
x
0
+16
=
-3
(
x
0
+
4
3
)
2
+
64
3
,
当x
0
=-
4
3
时,DE的最大值为
8
3
3
.
举一反三
已知曲线C:(5-m)x
2
+(m-2)y
2
=8(m∈R),O为坐标原点.
(Ⅰ)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆且离心率
e>
2
2
,求m的取值范围;
(Ⅱ)设m=4,直线l过点(0,1)且与曲线C交于不同的两点A、B,求当△ABO的面积取得最大值时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x2
m
+
y2
4
=1
的焦距为2,则m的值等于______.
题型:不详
难度:
|
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设F
1
,F
2
分别是椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的左右焦点,过左焦点F
1
作直线l与椭圆交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)若OA⊥OB,求AB的长;
(Ⅱ)在x轴上是否存在一点M,使得
MA
•
MB
为常数?若存在,求出M点的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的一条渐近线为
x+
3
y=0
,且与椭圆x
2
+4y
2
=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个焦点F
1
(-c,0)、F
2
(c,0),M是椭圆C上一点,且满足
∠
F
1
M
F
2
=
π
3
.
(1)求椭圆的离心率e的取值范围;(2)设O为坐标原点,P是椭圆C上的一个动点,试求
t=
|P
F
1
-P
F
2
|
|OP|
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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