已知双曲线的一条渐近线为x+3y=0，且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

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已知双曲线的一条渐近线为x+3y=0，且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

题型：不详难度：来源：
已知双曲线的一条渐近线为x+


3
y=0，且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
答案
椭圆方程为
x2
64
+
y2
16
=1，可知椭圆的焦距为8


3

①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）
∴





a2+b2=48
b
a
=


3
3
解得





a2=36
b2=12

∴双曲线的标准方程为
x2
36
-
y2
12
=1（6分）
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）
∴





a2+b2=48
a
b
=


3
3
解得





a2=12
b2=36

∴双曲线的标准方程为
y2
12
-
x2
36
=1
由①②可知，双曲线的标准方程为
x2
36
-
y2
12
=1或
y2
12
-
x2
36
=1（12分）
举一反三
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆C上一点，且满足∠F1MF2=
π
3
．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设O为坐标原点，P是椭圆C上的一个动点，试求t=
|PF1-PF2|
|OP|
的取值范围．
题型：不详难度：| 查看答案
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），A1、A2、B1、B2分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
（1）设点M（x0，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A1、A2处时，|PM|取得最大值与最小值，求x0的取值范围；
（2）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA2⊥BA2．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
题型：闸北区二模难度：| 查看答案
已知椭圆的方程为
x2
16
+
y2
m2
=1(m＞0)，如果直线y=


2
2
x与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为 ______．
题型：如皋市模拟难度：| 查看答案
椭圆
x2
m
+
y2
4
=1的焦距等于2，则m的值为______．
题型：不详难度：| 查看答案
从椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求∠F1QF2的范围；
（3）当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20


3
，求椭圆方程．
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