设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左右焦点,过左焦点F1作直线l与椭圆交于不同的两点A、B.(Ⅰ)若OA⊥OB,求AB的长;(Ⅱ)在x轴上是否存在一点M,
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设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左右焦点,过左焦点F1作直线l与椭圆交于不同的两点A、B.(Ⅰ)若OA⊥OB,求AB的长;(Ⅱ)在x轴上是否存在一点M,
题型:不详
难度:
来源:
设F
1
,F
2
分别是椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的左右焦点,过左焦点F
1
作直线l与椭圆交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)若OA⊥OB,求AB的长;
(Ⅱ)在x轴上是否存在一点M,使得
MA
•
MB
为常数?若存在,求出M点的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)当直线l与x轴垂直时,
A(-
3
,
1
2
),B(-
3
,-
1
2
)
,此时OA与OB不垂直.(2分)
当直线l与x轴不垂直时,设l的方程为
y=k(x+
3
),A(
x
1
,
y
1
),B(
x
2
,
y
2
)
,
联立直线与椭圆的方程
y=k(x+
3
)
x
2
+4
y
2
=4
,整理得
(4
k
2
+1)
x
2
+8
3
k
2
x+12
k
2
-4=0
(4分)
x
1
+
x
2
=
-8
3
k
2
4
k
2
+1
,
x
1
x
2
=
12
k
2
-4
4
k
2
+1
∵OA⊥OB,∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
x
1
x
2
+
k
2
(
x
1
+
3
)(
x
2
+
3
)=
x
1
x
2
+
k
2
x
1
x
2
+
3
k
2
(
x
1
+
x
2
)+3
k
2
=0
3
k
2
•
-8
3
k
2
4
k
2
+1
+(1+
k
2
)•
12
k
2
-4
4
k
2
+1
+3
k
2
=0
解得
k
2
=
4
11
(6分)
∴
|AB|=
1+
k
2
|
x
1
-
x
2
|=
20
9
(8分)
(Ⅱ)设M(m,0)为x轴上一点
MA
•
MB
=(
x
1
-m)(
x
2
-m)+
y
1
y
2
=
x
1
x
2
-m(
x
1
+
x
2
)+
m
2
+
y
1
y
2
=
12
k
2
-4
4
k
2
+1
-m•
-8
3
k
2
4
k
2
+1
+
m
2
-
k
2
4
k
2
+1
=
(4
m
2
+8
3
m+11)
k
2
+
m
2
-4
4
k
2
+1
(12分)
若
MA
•
MB
为定值,则有
4
m
2
+8
3
m+11
m
2
-4
=
4
1
,解得
m=-
9
3
8
所以存在点
M(-
9
3
8
, 0)
使得
MA
•
MB
为定值.(14分)
举一反三
已知双曲线的一条渐近线为
x+
3
y=0
,且与椭圆x
2
+4y
2
=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个焦点F
1
(-c,0)、F
2
(c,0),M是椭圆C上一点,且满足
∠
F
1
M
F
2
=
π
3
.
(1)求椭圆的离心率e的取值范围;(2)设O为坐标原点,P是椭圆C上的一个动点,试求
t=
|P
F
1
-P
F
2
|
|OP|
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),A
1
、A
2
、B
1
、B
2
分别为椭圆C的长轴与短轴的端点.
(1)设点M(x
0
,0),若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A
1
、A
2
处时,|PM|取得最大值与最小值,求x
0
的取值范围;
(2)若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3,最小值为l,且与直线l:y=kx+m相交于A,B两点(A,B不是椭圆的左右顶点),并满足AA
2
⊥BA
2
.试研究:直线l是否过定点?若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由.
题型:闸北区二模
难度:
|
查看答案
已知椭圆的方程为
x
2
16
+
y
2
m
2
=1(m>0)
,如果直线
y=
2
2
x
与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为 ______.
题型:如皋市模拟
难度:
|
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椭圆
x
2
m
+
y
2
4
=1的焦距等于2,则m的值为______.
题型:不详
难度:
|
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