已知函数f(x)=ln(2+3x)-32ax2，在x=13时取得极值，若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=ln(2+3x)-

3

2

ax2，在x=

1

3

时取得极值，若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

答案

∵f′(x)=

3

2+3x

-3ax，由f′(

1

3

)=0，得a=1
∴f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2（3分）
由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b=0，（4分）
令ϕ(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b，则ϕ′(x)=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

当x∈[0，

7

3

]时，ϕ"（x）＞0，于是ϕ（x）在[0，

7

3

]上递增；当x∈[

7

3

，1]时，ϕ"（x）＜0，于是ϕ（x）在[

7

3

，1]上递减，而ϕ(

7

3

)＞ϕ(0)，ϕ(

7

3

)＞ϕ(1)（8分）
∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于

ϕ(0)=ln2-b≤0 ϕ( 7 3 )=ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 ϕ(1)=ln5+ 1 2 -b≤0

，（10分）
解得ln5+

1

2

≤b＜ln(2+

7

)-

7

6

+

2 7

3

（12分）