已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（2）证明函数y=f（x）（x≠1）的图
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（2）证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（3）若函数y=f（x）有零点，求实数a的取值范围． |
答案
（1）f′(x)=-a…（2分）f（1）=-a+1，kl=f"（1）=1-a，
所以切线l的方程为y-f（1）=kl（x-1），即y=（1-a）x．…（4分）
（2）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，
则F′(x)=-1 =(1-x) ，解F′(x)=0得x=1．
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） | | F"（x） | + | 0 | - | | F（x） | ↗ | 最大值 | ↘ |
举一反三
| 已知函数f(x)= 则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是______ 个． | 方程log2x=的根所在区间为（ ）| A．(0，) | B．(，1) | C．（1，2） | D．（2，3） |
| 设函数f(x)=lnx-ax2+x．
（1）当a=2时，求f（x）的最大值；
（2）令F(x)=f(x)+ax2-x+（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，方程mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值． | | 若关于x的不等式（2x-1）2≤ax2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是______． |
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