已知f(x)=x3+bx2+cx-b(b<0)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)若f(x)的图象上在两点A(m,f(m))、B(
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=x3+bx2+cx-b(b<0)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性. (Ⅰ)求c的值; (Ⅱ)若f(x)的图象上在两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,且函数f(x)在区间[m,n]上存在零点,求实数b的取值范围; (Ⅲ)若函数f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,在f(x)的图象上是否存在一点M,使得f(x)在点M的切线斜率为2b?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)f"(x)=3x2+2bx+c,…(1分) 由f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性, 知x=0是f(x)的一个极值点.…(2分) ∴f"(0)=0,得c=0.…(3分) (Ⅱ)令f"(x)=0,得3x2+2bx=0,∴x1=0,x2=-b(b<0).…(4分) ∵f(x)的图象上在两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直, ∴A,B为f(x)的极值点.…(5分) 则m=0,n=-b(b<0).…(6分) 又f(0)=-b,f(-b)=b3-b 若f(x)在[0,-b]上存在零点. ∵f(0)=-b>0, 则f(-b)=b3-b≤0.…(7分) ∵b<0,∴b2≥1,b2≥,∴b≤-.…(8分) (Ⅲ)由(Ⅱ),知由f"(x)=0, 得x1=0,x2=-b(b<0). ∵f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,f"(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的符号,…(9分) ∴2≤-b≤4, 即-6≤b≤-3.…(10分) 假设存在点M(x0,y0)使得f(x)在M处切线斜率为2b, 则f"(x0)=2b,即3x20+2bx0-2b=0,…(11分) △=4b2+24b=4(b2+6b)=4(b+3)2-3b, ∵-6≤b≤-3,∴-3b≤△≤0,…(12分) 当b=-6时,△=0, 由3x02-12x0+12=0得x0=2, 故存在这样点M,坐标为(2,-10).…(14分) |
举一反三
f(x)=sinx,x∈(0,π),方程f2(x)+2f(x)+a=0,(a∈R),实根个数可为( ) |
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)若函数g(x)=+-k仅有一个零点,求实数k的取值范围. (Ⅲ)若f(x)>t(x-1)(t∈Z)对任意x>1恒成立,求t的最大值. |
已知函数f(x)=logax-x+b(a≥0,且a≠1),当<a<且3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N+,则n=______. |
已知x1是方程xlgx=2009的根,x2是方程x•10x=2009的根,则x1•x2=( ) |
已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. |
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