已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)x+92(x+1)-k
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已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)x+92(x+1)-k
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=
f(x)
x
+
9
2(x+1)
-k
仅有一个零点,求实数k的取值范围.
(Ⅲ)若f(x)>t(x-1)(t∈Z)对任意x>1恒成立,求t的最大值.
答案
(1)由已知得f′(x)=a+lnx+1,
故f′(e)=3,
即a+lne+1=3,
∴a=1.
(2)∵
g(x)=
x+xlnx
x
+
9
2(x+1)
-k
=1+lnx+
9
2(x+1)
-k(x>0)
,
∴
g
′
(x)=
1
x
-
9
2(x+1
)
2
=
(2x-1)(x-2)
2x(x+1
)
2
,(x>0)
令g′(x)=0,解得
x=
1
2
,或x=2,
列表如下
x
(0,
1
2
)
1
2
(
1
2
,2
)
2
(2,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↑
极大值
4-ln2-k
↓
极小值
5
2
+ln2-k
↑
举一反三
已知函数f(x)=log
a
x-x+b(a≥0,且a≠1),当
1
3
<a<
1
2
且3<b<4时,函数f(x)的零点x
0
∈(n,n+1),n∈N
+
,则n=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知x
1
是方程xlgx=2009的根,x
2
是方程x•10
x
=2009的根,则x
1
•x
2
=( )
A.2006
B.2007
C.2008
D.2009
题型:单选题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=x
2
-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{a
n
}的前n项和S
n
=f(n)(n∈N
*
).
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
b
n
=
a
n
3
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)=x
2
,g(x)=alnx+bx(a>0).
(Ⅰ)若f(1)=g(1),f"(1)=g"(1),求F(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值.若不存在,说明理由.
(Ⅲ)设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x
1
,x
2
,且x
1
,x
0
,x
2
成等差数列,试探究G"(x
0
)值的符号.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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