已知函数f(x)=2lnx-x2-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)如果函数f(x)有两个不同的零点x1,x2且x1<x2,证明:对满足p+
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2lnx-x2-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)如果函数f(x)有两个不同的零点x1,x2且x1<x2,证明:对满足p+q=1,p≤q的任意正常数,f′(px1+qx2)<0恒成立. |
答案
(1)函数的定义域为(0,+∞),则f′(x)=-2x-a=-,令f"(x)=0,解得 x3=<0,x4=>0,所以当0<x<x4时,f"(x)>0,此时函数单调递增. 当x>x4时,f"(x)<0,此时函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为(0,),单调递减区间为[,+∞). (2)因为函数f(x)有两个不同的零点x1,x2且x1<x2,所以,两式相减得a=-(x1+x2), 因为f′(x)=-2x-a=-, 所以f′(px1+qx2)=-2(px1+qx2)-[-(x1+x2)] =-+(2p-1)(x2-x1), 因为2p≤p+q=1,x2>x1,所以(2p-1)(x2-x1)≤0,要证f′(px1+qx2)<0,只要证明
-<0即可,即只要证明+ln<0即可. 令=t,0<t<1,即只要证明g(t)=+lnt<0在0<t<1上恒成立即可.g′(t)=+=-+=, 因为p+q=1,0<p≤q,所以≥1,≥1,所以当0<t<1时,t-1<0,t-<0, 所以g"(x)<0,所以函数g(t)在(0,1)上为增函数,所以g(t)<g(1)=0. 所以+ln<0,故所证明的不等式成立. |
举一反三
若方程mx-x-m=0(m>0,且m≠1)有两个不同实数根,则m的取值范围是( ) |
函数f(x)=ax+b的零点是-1(a≠0),则函数g(x)=ax2+bx的零点是( ) |
已知函数f(x)=,则方程f(x)=的解为______. |
方程x2-=0在(-∞,0)内是否存在实数解?并说明理由. |
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