已知函数f(x)=mx-mx,g(x)=2lnx.(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当m=1时,证明方程f(x)=g(
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已知函数f(x)=mx-mx,g(x)=2lnx.(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当m=1时,证明方程f(x)=g(
题型:解答题
难度:一般
来源:贵阳二模
已知函数
f(x)=mx-
m
x
,g(x)=2lnx
.
(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当m=1时,证明方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根;
(3)若x∈(1,e]时,不等式f(x)-g(x)<2恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)m=2时,
f(x)=2x-
2
x
,
f′(x)=2+
2
x
2
,f′(1)=4
,
切点坐标为(1,0),
∴切线方程为y=4x-4…(2分)
(2)m=1时,令
h(x)=f(x)-g(x)=x-
1
x
-2lnx
,
h′(x)=1+
1
x
2
-
2
x
=
(x-1)
2
x
2
≥0
,
∴h(x)在(0,+∞)上为增函数.…(4分)
又
h(e)•h(
1
e
)=-(
1
e
-e+2
)
2
<0
,
∴y=h(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点
∴在(0,+∞)内f(x)=g(x)有且仅有一个实数根 …(6分)
(或说明h(1)=0也可以)
(3)
mx-
m
x
-2lnx<2
恒成立,即m(x
2
-1)<2x+2xlnx恒成立,
又x
2
-1>0,则当x∈(1,e]时,
m<
2x+2xlnx
x
2
-1
恒成立,
令
G(x)=
2x+2xlnx
x
2
-1
,只需m小于G(x)的最小值,
G′(x)=
-2(
x
2
lnx+lnx+2)
(
x
2
-1)
2
,
∵1<x≤e,∴lnx>0,∴当x∈(1,e]时G"(x)<0,
∴G(x)在(1,e]上单调递减,
∴G(x)在(1,e]的最小值为
G(e)=
4e
e
2
-1
,
则m的取值范围是
(-∞,
4e
e
2
-1
)
. …(12分)
举一反三
函数f(x)=ln
3x
2
-
2
x
的零点一定位于区间( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(4,5)
题型:单选题
难度:简单
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A.16
B.18
C.20
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题型:单选题
难度:简单
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函数
f(x)=lnx-
1
x
的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
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