已知函数f(x)=13x3-ax2+b在x=2处有极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在R上有且仅有一个零点,求b的取值范围.
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已知函数f(x)=13x3-ax2+b在x=2处有极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在R上有且仅有一个零点,求b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
1
3
x
3
-a
x
2
+b
在x=2处有极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在R上有且仅有一个零点,求b的取值范围.
答案
(1)f′(x)=x
2
-2ax…(1分)
由题意知:f′(2)=4-4a=0,得a=1,…(3分)
∴f′(x)=x
2
-2x,
令f′(x)>0,得x>2或x<0,…(5分)
令f′(x)<0,得0<x<2,…(6分)
∴f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),
单调递减区间是(0,2).…(7分)
(2)由(1)知,f(x)=
1
3
x
3
+
x
2
-b
,
f (2)=
b-
4
3
为函数f (x)极小值,f (0 )=b为极大值.…(10分)
∵函数f (x) 在R上有且仅有一个零点,
∴
b-
4
3
>0
或b<0 …(12分)
即
b>
4
3
或b<0
…(13分)
举一反三
已知函数f(x)=-x
3
+3x
2
+9x+a在区间[-2,2]上存在零点,那么实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数y=
x
2
-1(x<0)
2x-1(x≥0)
的零点为( )
A.
1
2
B.
±1,
1
2
C.
-1,
1
2
D.
1,
1
2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
若关于x的方程x
4
+ax
3
+ax
2
+ax+1=0有实数根,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知0<a<1,f(x)=a
|x|
-|log
a
x|的实根个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.1个或2个或3个
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
在数列{a
n
}中,
a
n
=
1
2
n
sin2(3n-1)θ
,其中θ为方程
2si
n
2
θ+
3
sin2θ=3
的解,则这个数列的前n项和S
n
为( )
A.
S
n
=-
3
2
(1-
1
2
n
)
B.
S
n
=
3
2
(1-
1
2
n
)
C.
S
n
=-
3
2
[1-(-
1
2
)
n
]
D.
S
n
=
3
2
[1-(-
1
2
)
n
]
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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