已知函数f(x)=x2+t的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数t的取值范围为______.

已知函数f(x)=x2+t的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数t的取值范围为______.

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2+t的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数t的取值范围为______.
答案

魔方格
由于函数f(x)和函数g(x)都是偶函数,图象关于y轴对称,故当这两个函数在(0,+∞)上有2个交点时,函数f(x)=x2+t的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点.
当x>0时,令 h(x)=f(x)-g(x)=x2+t-lnx,则 h′(x)=2x-
1
x

令h′(x)=0可得x=


2
2
,故这两个函数的图象在(0,+∞)上相切时切点的横坐标为x=


2
2

当x=


2
2
时,f(x)=
1
2
+t,g(x)=ln
1
2
=-ln2,
函数f(x)=x2+t的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,应有
1
2
+t<-ln2,
由此可得 t<-
1
2
-ln2,故实数m的取值范围为 (-∞,-
1
2
-ln2),
故答案为 (-∞,-
1
2
-ln2).
举一反三
设a为正实数,函数f(x)=x3-ax2-a2x+1,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数y=f(x)至多有两个零点,求实数a的取值范围.
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等差数列{an}中,已知a1,a5是方程x2-5x+6=0的两根,则a2+a4=______.
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方程x+sinx=1,x+sinx=2及x+
1
2
sinx=2在区间[0,
π
2
]
的根分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为______.
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设函数f(x)=-
1
3
x3+x2+(m2-1)x(x∈R).
(1)当方程f(x)=0只有一个实数解时,求实数m的取值范围;
(2)当m=1时,求过点(0,f(0))作曲线y=f(x)的切线的方程;
(3)若m>0且当x∈[1-m,3]时,恒有f(x)≤0,求实数m的取值范围.
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函数f(x)=2x+x-7的零点所在的区间是(k,k+1),k∈Z,则k=______.
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