设函数f(x)=-13x3+x2+(m2-1)x(x∈R).(1)当方程f(x)=0只有一个实数解时,求实数m的取值范围;(2)当m=1时,求过点(0,f(0)

设函数f(x)=-13x3+x2+(m2-1)x(x∈R).(1)当方程f(x)=0只有一个实数解时,求实数m的取值范围;(2)当m=1时,求过点(0,f(0)

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=-
1
3
x3+x2+(m2-1)x(x∈R).
(1)当方程f(x)=0只有一个实数解时,求实数m的取值范围;
(2)当m=1时,求过点(0,f(0))作曲线y=f(x)的切线的方程;
(3)若m>0且当x∈[1-m,3]时,恒有f(x)≤0,求实数m的取值范围.
答案
(1)由题意得,f(x)=-
1
3
x3+x2+(m2-1)x

=x[-
1
3
x2+x +(m2-1)]

∵方程f(x)=0只有一个实数解,
-
1
3
x2+x +(m2-1)
=0没有实数解,
∴△=1+
4
3
(m2-1)
<0,解得-
1
2
<m<
1
2

∴实数m的取值范围是(-
1
2
1
2
)

(2)当m=1时,f(x)=-
1
3
x3+x2
,则f′(x)=-x2+2x,
设切点为(x0,y0),y0=-
1
3
x03+x02

∴切线方程设为y-y0=f′(x0)(x-x0),
y-(-
1
3
x03+x02)=(-x02+2x0)(x-x0)
①,
将原点(0,0)代入得,0-(-
1
3
x03+x02)=(-x02+2x0)(0-x0)

解得x0=0或x0=
3
2
,代入①得,y=0或3x-4y=0,
则过(0,f(0))的切线的方程为:y=0或3x-4y=0,
(3)由题意得,f′(x)=-x2+2x+m2-1=-(x-m-1)(x+m-1),
由f′(x)=0得,x=m+1或x=1-m,
∵m>0,∴m+1>1-m,
∴f(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)内单调递减,在(1-m,1+m)内单调递增.
①当1+m≥3,即m≥2时,f(x)在区间[1-m,3]上是增函数,
f(x)max=f(3)=3m2-3





m≥2
3m2-3≤0
,解得m无解,
②当1+m<3时,即0<m<2时,
则f(x)在(1-m,1+m)内单调递增,在(1+m,+∞)内单调递减,
f(x)max=f(1+m)=
2
3
m3+m2-
1
3






0<m<2
2
3
m3+m2-
1
3
≤0
,即





0<m<2
(m+1)2(2m-1)≤0

解得0<m≤
1
2

综上得,m的取值范围为(0,
1
2
].
举一反三
函数f(x)=2x+x-7的零点所在的区间是(k,k+1),k∈Z,则k=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
方程(log3x)2+log93x-2=0的解是______.
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方程sinx=cos2x的解集是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+b
在x=2处有极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在R上有且仅有一个零点,求b的取值范围.
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已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,2]上存在零点,那么实数a的取值范围是______.
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