解:(I)因为,
又因为当x=0时,f(0)=0,
所以方程f(x)﹣x=0有实数根0.
所以函数是的集合M中的元素.
(II)假设方程f(x)﹣x=0存在两个实数根α,β(α≠β),
则f(α)﹣α=0,f(β)﹣β=0
不妨设α<β,
根据题意存在数c(α,β)使得等式f(β)﹣f(α)=(β﹣α)f"(c)成立.
因为f(α)=α,f(β)=β,且α≠β,
所以f"(c)=1,与已知0<f"(x)<1矛盾,
所以方程f(x)﹣x=0只有一个实数根;
(III)不妨设x2<x3,
因为f"(x)>0,所以f(x)为增函数,
所以f(x2)<f(x3),
又因为f"(x)﹣1<0,所以函数f(x)﹣x为减函数,
所以f(x2)﹣x2>f(x3)﹣x3,
所以0<f(x3)﹣f(x2)<x3﹣x2,即|f(x3)﹣f(x2)|<|x3﹣x2|,
所以|f(x3)﹣f(x2)|<|x3﹣x2|=|x3﹣x1﹣(x2﹣x1)|≤|x3﹣x1|+|x2﹣x1|<2
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.
如果函数有且仅有两个不动点0和2,且.
(1)求实数b,c的值;
(2)已知各项不为零的数列{an}的前n项之和为Sn,并且,
求数列{an}的通项公式;
(3)求证:.
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