解:(1)∵f(x)=ax3+bx2﹣a2x(a>0), ∴f′(x)=3ax2+2bx﹣a2(a>0) 依题意有和1是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根 ∴解得 , ∴f(x)=x3﹣x2﹣x.(经检验,适合). (2)∵f′(x)=3ax2+2bx﹣a2(a>0)依题意,x1,x2是方程f′(x)=0的两个根, ∴x1x2=﹣<0且 , ∴, ∴b2=3a2(9﹣a) ∵b2≥0 ∴0<a≤9. 设p(a)=3a2(9﹣a),则p"(a)=54a﹣9a2. 由p′(a)>0得0<a<6,由p′(a)<0得a>6. 即函数p(a)在区间(0,6]上是增函数,在区间[6,9]上是减函数, ∴当a=6时,p(a)有极大值为324, ∴p(a)在(0,9]上的最大值是324, ∴b的最大值为18. |