已知函数f(x)=-a2x2+ax+lnx(a∈R).(Ⅰ)我们称使f(x)=0成立的x为函数的零点.证明:当a=1时,函数f(x)只有一个零点;(Ⅱ)若函数f

已知函数f(x)=-a2x2+ax+lnx(a∈R).(Ⅰ)我们称使f(x)=0成立的x为函数的零点.证明:当a=1时,函数f(x)只有一个零点;(Ⅱ)若函数f

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已知函数f(x)=-a2x2+ax+lnx(a∈R).
(Ⅰ)我们称使f(x)=0成立的x为函数的零点.证明:当a=1时,函数f(x)只有一个零点;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)证明:∵f′(x)=-
(2x+1)(x-1)
x
(x>0)
f(x)在(0,1)为增函数,
在(1,+∞)上为减函数.∴f(x)的最大值为f(1)=0,
∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点.(4分)
(Ⅱ)∵f′(x)=-
2a2x2-ax-1
x
=-
(2ax+1)(ax-1)
x

①当a=0时,不成立.
②当a>0时,f"(x)<0,得x>
1
a
,∴
1
a
≤1,a≥1

③当a<0时,f"(x)<0,得x>-
1
2a
,∴-
1
2a
≤1,a≤-
1
2

综上得:a∈(-∞,-
1
2
]∪[1,+∞)
(12分)
举一反三
若函数在R上的图象均是连续不断的曲线,且部分函数值由下表给出:
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f(x)  3-2 
已知关x的一元二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3}Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).
(1)列举出所有的数对(a,b)并求函数y=f(x)有零点的概率;
(2)求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
函数f(x)=2x-x-


2
的一个零点所在区间是(  )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
函数f(x)=-
1
x
+log2x
的一个零点落在下列哪个区间(  )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
函数f(x)=ax-x(a>0,a≠1)的零点所在的一个区间是(
1
2
,1),则a
的取值范围是(  )
A.(
1
2
,1)
B.(
1
4
,1)
C.(
1
4
,2)
D.(1,2)