(1)当=-2时,h(x)=f(x)-g(x),所以h(x)=lnx+x2-bx,其定义域为(0,+∞), 因为函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,所以h"(x)≥0恒成立,即h′(x)=+2x-b≥0恒成立, 所以b≤+2x,当x>0时,+2x≥2,当且仅当x=时取等号,所以b≤,所以b的取值范围(-∞,]. (2)设t=ex,则函数φ(x)=e2x-bex等价为ω(t)=t2+bt,t∈[1,2], 则ω(t)=t2+bt=(t+)2-,且b∈(-∞,2], 所以①当≤1,即-2≤b≤2时,函数ω(t)=t2+bt,在t∈[1,2],上为增函数,所以当t=1时,ω(t)的最小值为b+1. ②当1<-<2,即-4<b<-2时,当t=-时,ω(t)的最小值为-. ③当-≥2,即b≤-4时,函数ω(t)=t2+bt,在t∈[1,2]上为减函数,所以当t=2时,ω(t)的最小值为4+2b. 综上:当-2≤b≤2时,φ(x)的最小值为b+1. 当-4<b<-2时,φ(x)的最小值为-. 当b≤-4时,φ(x)的最小值为4+2b. (3)因为V(x)=2f(x)-x2-kx=2lnx-x2-kx,V′(x)=-2x-k, 假设V′(x0)=0,成立,且0<x1<x2,则由题意知,
| 2lnx1--kx1=0 ① | 2lnx2--kx2=0 ② | x1+x2=2x0 ③ | -2x0-k=0 (4) |
| | , ①-②得2ln-(-)-k(x1-x2)=0, 所以k=-2x0,由(4)得k=-2x0,所以=, 即=,即ln= ⑤ 令t=,则u(t)=lnt-,(0<t<1),所以u′(t)=>0,(0<t<1), 所以u(t)在(0,1)上为单调递增函数,所以u(t)<u(1)=0, 即lnt<,即ln<, 这与⑤式相矛盾,所以假设不成立,故V′(x0)≠0. |