已知α、β∈（0，π2），且α+β＞π2，f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x．求证：对于x＞0，有f（x）＜2．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知α、β∈（0，

π

2

），且α+β＞

π

2

，f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x．
求证：对于x＞0，有f（x）＜2．

答案

证明：∵α+β＞

π

2

，∴α＞

π

2

-β；∵α、β∈（0，

π

2

），

π

2

-β∈(0，

π

2

)；
因为y=sinx，在(0，

π

2

)上为增函数，
y=cosx在(0，

π

2

)上为减函数，
sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，cosα＜cos(

π

2

-β)=sinβ，
又sinα＞0，sinβ＞0，∴0＜

cosα

sinβ

 ＜ 1，0＜

cosβ

sinα

 ＜1，
∵y=a^x，（0＜a＜1）在R上为减函数，且x＞0，∴(

cosα

sinβ

)x＜ 1，(

cosβ

sinα

)x＜1，
从而f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x＜2