已知函数的定义域为,对定义域内的任意x,满足,当时,(a为常),且是函数的一个极值点,(1)求实数a的值;(2)如果当时,不等式恒成立,求实数m的最大值;(3)

已知函数的定义域为,对定义域内的任意x,满足,当时,(a为常),且是函数的一个极值点,(1)求实数a的值;(2)如果当时,不等式恒成立,求实数m的最大值;(3)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数的定义域为,对定义域内的任意x,满足,当时,(a为常),且是函数的一个极值点,
(1)求实数a的值;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数m的最大值;
(3)求证:
答案
(1);(2)2;(3)详见解析.
解析

试题分析:(1)利用为奇函数,所以设,利用,求出时的,然后再求时的,再根据,求出,验证所求能够使是函数的一个极值点;(2)不等式恒成立,转化为恒成立,设,即求的最小值,求,再设,易求,当时,为增函数,最小, ,即逐步分析为单调递增函数,从而求得最小值.(3)通过代入(2)式恒成立不等式,变形放缩后得到,为出现(2)要证形式,所以令,则,然后将k=1,2,  n,代入上式,累加,从而得出要证不等式.此题综合性较强.
试题解析:(1)由题知对定义域内任意为奇函数,
时,
时,
由题知:,解得,经验证,满足题意.
(2)由(1)知
时,,令
时,恒成立,转化为恒成立.

,则
时,上单调递增.

时,单调递增.

则若恒成立,则
的最大值2.
(3)由(2)知当时,有,即

,则
时,;当时,;当时,
时,
将以上不等式两端分别相加得:

.
举一反三
已知函数
(1)求函数在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数单调递增区间;
(3)若∈[1,1],使得(e是自然对数的底数),求实数的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数 
(1)若曲线在公共点处有相同的切线,求实数的值;
(2)当时,若曲线在公共点处有相同的切线,求证:点唯一;
(3)若,且曲线总存在公切线,求正实数的最小值
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,求函数的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数①f(x)=x2;②f(x)=ex;③f(x)=ln x;④f(x)=cos x.其中对于f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立的函数是(  )
A.①B.②C.②③D.③④

题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是(  )
A.(-∞,-1) B.(-∞,2-1)
C.(-1,2-1) D.(-2-1,2-1)

题型:单选题难度:一般| 查看答案
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