已知函数,g(x)=,a,b∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数h(x)=f(x)+g(x),当a=0时,h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点
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已知函数,g(x)=,a,b∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数h(x)=f(x)+g(x),当a=0时,h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知函数
,g(x)=
,a,b∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)记函数h(x)=f(x)+g(x),当a=0时,h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求实数b的取值范围;
(3)记函数F(x)=|f(x)|,证明:存在一条过原点的直线l与y=F(x)的图象有两个切点.
答案
(1)当
时,
为单调增区间,
当
时,
为单调减区间,
为单调增区间.
(2)b<1
(3)首先根据(1)的结论,讨论可得只有0<a<
时直线l与y=F(x)的图象有两个切点.设切点的横坐标分别为s、t且s<t,可得l与y=F(x)的图象有两个切点分别为直线l与曲线
在x∈(s,t)的切点和曲线
在x∈(t,+∞)的切点.由此结合直线的斜率公式和导数的几何意义列出关于a、x
1
、y
1
、x
2
、y
2
的关系式,化简整理可得
,再令
=k(0<k<1),转化为(k
2
+1)lnk=2k
2
﹣2.令G(k)=(k
2
+1)lnk﹣2k
2
+2,(0<k<1),由根的存在性定理证出:存在k
0
∈(0,1),使得G(k
0
)=0.由此即可得到原命题成立.
解析
试题分析:(1)因为f"(x)=﹣
+
=
,
①若a≤0,则f"(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,…(2分)
②若a>0,令f"(x)=0,得x=a,
当0<x<a时,f"(x)<0;当x>a时,f"(x)>0.
所以(0,a)为单调减区间,(a,+∞)为单调增区间.
综上可得,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,
当a>0时,函数f(x)的单调减区间为(0,a),单调增区间为(a,+∞). …(4分)
(2)a=0时,h(x)=f(x)+g(x)=
,
∴h"(x)=bx﹣2+
=
,…(5分)
h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,即h"(x)=0在(0,1)上有且只有一个根且不为重根,
由h"(x)=0得bx
2
﹣2x+1=0,…(6分)
( i)b=0,x=
,满足题意;…(7分)
( ii)b>0时,b•1
2
﹣2•1+1<0,即0<b<1;…(8分)
( iii)b<0时,b•1
2
﹣2•1+1<0,得b<1,故b<0;
综上所述,得:h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点时,b<1. …(9分)
(3)证明:由(1)可知:
( i)若a≤0,则f"(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,
所以直线l与y=F(x)的图象不可能有两个切点,不合题意.…(10分)
(ⅱ)若a>0,f(x)在x=a处取得极值f(a)=1+lna.
若1+lna≥0,a≥
时,由图象知不可能有两个切点.…(11分)
故0<a<
,设f(x)图象与x轴的两个切点的横坐标为s,t(不妨设s<t),
则直线l与y=F(x)的图象有两个切点即为直线l与
和
的切点.
y
1
"=
﹣
=
,y
2
"=﹣
+
=
,
设切点分别为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则0<x
1
<x
2
,且
=
=﹣
﹣
,
=
=
+
,
=
,
即
=1﹣lnx
1
…①;
=1﹣lnx
2
…②;a=
,③
①﹣②得:
﹣
=﹣lnx
1
+lnx
2
=﹣ln
,
由③中的a代入上式可得:(
﹣
)•
,
即
,…(14分)
令
=k(0<k<1),则(k
2
+1)lnk=2k
2
﹣2,令G(k)=(k
2
+1)lnk﹣2k
2
+2,(0<k<1),
因为
=1﹣
>0,
=﹣
<0,
故存在k
0
∈(0,1),使得G(k
0
)=0,
即存在一条过原点的直线l与y=F(x)的图象有两个切点.…(16分)
点评:本题给出含有分式和对数的基本初等函数,求函数f(x)的单调区间、讨论函数f(x)+g(x)的极值点并证明了函数|f(x)|图象与过原点的直线相切的问题.着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和用导数求函数图象的切线等知识,属于难题.
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题型:解答题
难度:简单
|
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定义在
上的偶函数
,对任意实数
都有
,当
时,
,若在区间
内,函数
与函数
的图象恰有4个交点,则实数
的取值范围是__________.
题型:填空题
难度:简单
|
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设函数
,且曲线
斜率最小的切线与直线
平行.求:(1)
的值;(2)函数
的单调区间.
题型:解答题
难度:简单
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函数
恒过定点________
____.
题型:填空题
难度:简单
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已知函数
,若f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对任意的
,都有f(x)
成立,求函数g(t)
的最值
题型:解答题
难度:简单
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