.设函数f(x)=-a+x+a,x∈(0,1],a∈R*.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.
题型:解答题难度:简单来源:不详
.设函数f(x)=-a+x+a,x∈(0,1],a∈R*. (1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围; (2)求f(x)在(0,1]上的最大值. |
答案
(1)由f(x)在(0,1]上为增函数,知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立,即a≤在(0,1]上恒成立,故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值. (2)求f(x)在(0,1]上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论,分0<a≤及a>两种情况,当0<a≤时,由(1)知f(x)在(0,1]上为增函数,可求最大值,当a>时,可由导数求f(x)在(0,1]上的极大值点. [解析] (1)f′(x)=-a·+1. 因为f(x)在(0,1]上是增函数, 所以f′(x)=-+1≥0在(0,1]上恒成立, 即a≤=在(0,1]上恒成立, 而在(0,1]上的最小值为, 又因为a∈R*,所以0<a≤. (2)由(1)知:①当0<a≤时,f(x)在(0,1]上是增函数,所以f(x)max=f(1)=(1-)a+1; ②当a>时,令f′(x)=0,得x=∈(0,1], 因为当0<x<时,f′(x)>0, 当<x≤1时,f′(x)<0, 所以f(x)在点x=处取得极大值, 即为f=+a =+a=a-, 故f(x)max=a-. 综上,当0<a≤时,f(x)max=(1-)a+1; 当a>时,f(x)max=a-. [点评] ①已知f(x)在[a,b]上单调递增(或单调递减)可推得x∈[a,b]时,f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,求单调区间时,令f′(x)>0(或f′(x)<0).②求f(x)的最大值时,要比较端点处函数值与极值的大小.当f′(x)的符号不确定时,可对待定系数进行分类讨论. |
解析
略 |
举一反三
设mÎN,若函数存在整数零点,则m的取值集合为 . |
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(1)求棒长L关于的函数关系式:; (2)求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值. |
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