设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=a

设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=a

题型:解答题难度:一般来源:不详
f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=axg(x)=.
(1)若a∈{1,4},b∈{-1,1,4},求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率;
(2)若a∈[1,4],b∈[1,4],求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.
答案
(1)(2)
解析
(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
则|f(x)+g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有:
xxx,4x,4x,4x
共6种且每种情况被取到的可能性相同.
又当a>0,b>0时,ax上递减,在上递增;
x和4x在(0,+∞)上递增,
∴对x∈[1,2]可使|f(x)+g(x)|≤8恒成立的有xxx,4x,故事件A包含的基本事件有4种,
P(A)=,故所求概率是.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”,
a是从区间[1,4]中任取的数,b是从区间[1,4]中任取的数,
∴点(ab)所在区域是长为3,宽为3的矩形区域.
要使x∈[1,2]时,|f(x)+g(x)|≤8恒成立,
f(1)+g(1)=ab≤8且f(2)+g(2)=2a≤8,

∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.
P(B)=
故所求概率是.
举一反三
在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数.有下列函数:
①f(x)=x+(x>0);②g(x)=x3;
③h(x)=()x;④φ()=lnx.
其中是一阶整点函数的是(  )
A.①②③④B.①③④
C.④D.①④

题型:单选题难度:一般| 查看答案
集合M={f(x)|存在实数t使得函数f(x)满足f(t+1)=f(t)+f(1)},则下列函数(a、b、c、k都是常数):
① y=kx+b(k≠0,b≠0);② y=ax2+bx+c(a≠0);
③ y=ax(0<a<1);④ y=(k≠0);⑤ y=sinx.
其中属于集合M的函数是________.(填序号)
题型:填空题难度:简单| 查看答案
对于函数,若在定义域存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(2)设是定义在上的“局部奇函数”,求实数的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
的值为     .
题型:填空题难度:简单| 查看答案
曲线方程,其图像与直线有两个不同的交点,则a的取值范围_ 
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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