试题分析:(1)求实数 、 的值,因为曲线 与 在公共点 处有相同的切线,由导数的几何意义可得, ,解出即可;(2)当 时,若曲线 与 在公共点 处有相同的切线,求证:点 唯一,可设 ,由题设得 , ,转化为关于 的方程 只有一解,进而构造函数,转化为函数只有一个零点,可利用导数即可证明;(3)设曲线 在点 处的切线方程为 ,则只需使该切线 相切即可,也即方程组 只有一解即可,所以消 后 ,问题转化关于 的方程总有解,分情况借助导数进行讨论即可求得 值最小值 试题解析:(1) , ∵曲线 与 在公共点 处有相同的切线∴ , 解得, 3分 (2)设 ,则由题设有 ①又在点 有共同的切线 ∴ 代入①得 5分 设 ,则 , ∴ 在 上单调递增,所以 =0最多只有 个实根, 从而,结合(1)可知,满足题设的点 只能是 7分 (3)当 , 时, , , 曲线 在点 处的切线方程为 ,即 由 ,得 ∵ 曲线 与 总存在公切线,∴ 关于![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819192501-14573.png) 的方程 , 即 总有解 9分 若 ,则 ,而 ,显然 不成立,所以 10分 从而,方程 可化为 令![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819192508-45526.png) ,则 ∴ 当 时, ;当 时, ,即 在 上单调递减,在 上单调递增 ∴ 在 的最小值为 , 所以,要使方程 有解,只须 ,即 14分 |