设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数 ”;若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).(1
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设是定义在的可导函数,且不恒为0,记.若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶负函数 ”;若对定义域内的每一个,总有,则称为“阶不减函数”(为函数的导函数).(1
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
设
是定义在
的可导函数,且不恒为0,记
.若对定义域内的每一个
,总有
,则称
为“
阶负函数 ”;若对定义域内的每一个
,总有
,则称
为“
阶不减函数”(
为函数
的导函数).
(1)若
既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数
的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数”
,如果存在常数
,使得
恒成立,试判断
是否为“2阶负函数”?并说明理由.
答案
(1)
(2)所有满足题设的
都是“2阶负函数”
解析
试题分析:解:(1)依题意,
在
上单调递增,
故
恒成立,得
, 2分
因为
,所以
. 4分
而当
时,
显然在
恒成立,
所以
. 6分
(2)①先证
:
若不存在正实数
,使得
,则
恒成立. 8分
假设存在正实数
,使得
,则有
,
由题意,当
时,
,可得
在
上单调递增,
当
时,
恒成立,即
恒成立,
故必存在
,使得
(其中
为任意常数),
这与
恒成立(即
有上界)矛盾,故假设不成立,
所以当
时,
,即
; 13分
②再证
无解:
假设存在正实数
,使得
,
则对于任意
,有
,即有
,
这与①矛盾,故假设不成立,
所以
无解,
综上得
,即
,
故所有满足题设的
都是“2阶负函数”. 16分
点评:主要是考查了新定义的运用,以及函数与方程的运用,属于中档题。
举一反三
函数
的图象与
轴所围成的封闭图形的面积为 ( )
A.
B.1
C.4
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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某学生在复习指数函数的图象时发现:在y轴左边, y=3
x
与y=2
x
的图象均以x轴负半轴为渐近线, 当x=0时, 两图象交于点(0, 1).这说明在y轴的左边y=3
x
与y=2
x
的图象从左到右开始时几乎一样, 后来y=2
x
的图象变化加快使得y=2
x
与y=3
x
的图象逐渐远离, 而当x经过某一值x
0
以后 y= 3
x
的图象变化加快使得y=2
x
与y=3
x
的图象又逐渐接近, 直到x=0时两图象交于点(0, 1).那么x
0
=( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
(
,
),
.
(1)求函数
的单调区间,并确定其零点个数;
(2)若
在其定义域内单调递增,求
的取值范围;
(3)证明不等式
(
).
题型:解答题
难度:简单
|
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设
(1)当
,求
的取值范围;
(2)若对任意
,
恒成立,求实数
的最小值.
题型:解答题
难度:简单
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已知函数
,则方程
的不相等的实根个数为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
题型:单选题
难度:简单
|
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