已知函数f(x)=x2+ (x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性
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已知函数f(x)=x2+ (x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知函数f(x)=x
2
+
(x≠0).
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性
答案
(1)函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2) f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.
解析
试题分析:(1)当a=0时,f(x)=x
2
,f(-x)=f(x),函数是偶函数. 3分
当a≠0时,f(x)=x
2
+
x≠0,常数a∈R), 5分
取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;
f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 6分
(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时f(x)=x
2
+
.
任取x
1
,x
2
∈[2,+∞),且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=(x
1
2
+
)-(x
2
2
+
)
=(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)+
=(x
1
-x
2
)(x
1
+x
2
-
).
由于x
1
≥2,x
2
≥2,且x
1
<x
2
,
∴x
1
-x
2
<0,x
1
+x
2
>
,所以f(x
1
)<f(x
2
),
故f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. 12分
点评:解决函数的性质问题的关键是掌握函数性质的概念,另还要掌握常见的判断方法。
举一反三
已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.
(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);
(2)若任意x∈R,f(x)
g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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已知函数
(
),
.
(Ⅰ)若曲线
与
在它们的交点
处具有公共切线,求
的值;
(Ⅱ)当
时,求函数
在区间
上的最大值.
题型:解答题
难度:简单
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已知函数f(x)=
(a、b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x
1
=3,x
2
=4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)<
.
题型:解答题
难度:简单
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已知函数
,g(x)=
,a,b∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)记函数h(x)=f(x)+g(x),当a=0时,h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点,求实数b的取值范围;
(3)记函数F(x)=|f(x)|,证明:存在一条过原点的直线l与y=F(x)的图象有两个切点.
题型:解答题
难度:简单
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题型:解答题
难度:简单
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