试题分析:解:(1)当 时, , 则 , 又 是奇函数, 所以 , 因此, ; 4分 (2)证明:令 , 当 时,注意到 ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819193154-82916.png) 5分 ① 当 时,注意到 ,有
; 6分 ② 当 时,
, 7分 故函数 在 上是增函数,从而有 , 所以当 时,有 , 8分 又因为 是偶函数,故当 时,同样有 ,即 , 综上所述,当 时,有 ; 9分 (2)证法二:当 时, , 求导得 ,令 得 , 5分 于是可得当 时, ; 时, , 所以 在 处取得最大值 ,所以 . 6分 又记 ,当 时,有 , 7分 求导得 ,当 时, , 所以 在 上单调递增,于是 , 所以,在在 上总有 . 8分 注意到 和 的偶函数性质, 所以当 时,有 ( ); 9分 (3)当 时, , 求导得 ,令 得 , 10分 ① 当 时, , 在区间 上是增函数,故此时函数 在区间 上的最小值为 ,不满足要求; 11分 ② 当 ,即 时, , 所以 在区间 上是增函数,此时函数 在区间 的最小值为 , 令 ,得 ,也不满足要求; 12分 ③ 当 时,可得 在区间 上是减函数,在区间 上是增函数,所以当 时, , 令 ,得 ,满足要求. 13分 综上可得,当 时,函数 在区间 上的最小值是3. 14分 点评:解决的关键是根据导数的符号于函数单调性的关系来判定单调性,进而得到最值,属于基础题 |