已知函数f(x)=ax3+b,其图象在点P处的切线为l:y=4x-4,点P的横坐标为2(如图).求直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围
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已知函数f(x)=ax3+b,其图象在点P处的切线为l:y=4x-4,点P的横坐标为2(如图).求直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=ax
3
+b,其图象在点P处的切线为l:y=4x-4,点P的横坐标为2(如图).求直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积.
答案
f′(x)=3ax
2
.∴f′(2)=12a,
切线的斜率 k=12a,∵切线方程为:y=4x-4,∴切点坐标为了(2,4)
∴12a=4,∴a=
1
3
,且f(2)=ax
3
+b=4,∴b=
4
3
,
即
a=
1
3
, b=
4
3
,f(x)=
1
3
x
3
+
4
3
,
直线l:y=4x-4与x轴的交点的横坐标为1,
所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积为:
S=
∫
10
(
1
3
x
3
+
4
3
)dx+
∫
21
[(
1
3
x
3
+
4
3
)-(4x-4)]dx
=
(
1
12
x
4
+
4
3
x)
|
10
+(
1
12
x
4
+
16
3
x-2
x
2
)
|
21
=
1
12
+
4
3
+
1
12
×
2
4
+
16
3
×2
-2×2
2
-(
1
12
+
16
3
-2)=2.
举一反三
已知函数f(x)=e
x
+ax,g(x)=e
x
lnx.(其中e为自然对数的底数),
(Ⅰ)设曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+(e-1)y=1垂直,求a的值;
(Ⅱ)若对于任意实数x≥0,f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值范围;
(Ⅲ)当a=-1时,是否存在实数x
0
∈[1,,e],使曲线C:y=g(x)-f(x)在点x=x
0
处的切线与y轴垂直?若存在,求出x
0
的值;若不存在,请说明理由.
题型:广东模拟
难度:
|
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在直角坐标系xOy中,设A点是曲线C
1
:y=ax
3
+1(a>0)与曲线
C
2
:
x
2
+
y
2
=
5
2
的一个公共点,若C
1
与C
2
在A点处的切线互相垂直,则实数a的值是______.
题型:不详
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若函数f(x)=x
3
-3bx+b在区间(0,1)内有极小值,则b应满足的条件是______.
题型:不详
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设曲线y=e
ax
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3
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题型:不详
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