设点A的坐标为(x0,y0),代入两曲线方程得: y0=ax03+1①,x02+y02=②, 由曲线C1:y=ax3+1得:y′=3ax2, 则曲线C1在A处的切线的斜率k=3ax02, 所以C1在A处的切线方程为:y=3ax02(x-x0)+y0, 由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直, 得到切线方程y=3ax02(x-x0)+y0过圆C2的圆心(0,0), 则有3ax02(0-x0)+y0=0,即y0=3ax03③, 把③代入①得:a=④,④代入③得:y0=⑤,⑤代入②得:x0=±, 当x0=时,代入④得:a=4;当x0=-时,代入④得:a=-4(由a>0,不合题意,舍去). 则实数a的值为4. 故答案为4. |