已知函数,在时取得极值.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)若时,恒成立,求实数m的取值范围;(Ⅲ)若,是否存在实数b,使得方程在区间上恰有两个相异实数根,若存在,求出
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已知函数,在时取得极值.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)若时,恒成立,求实数m的取值范围;(Ⅲ)若,是否存在实数b,使得方程在区间上恰有两个相异实数根,若存在,求出
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
已知函数
,在
时取得极值.
(Ⅰ)求函数
的解析式;
(Ⅱ)若
时,
恒成立,求实数
m
的取值范围;
(Ⅲ)若
,是否存在实数
b
,使得方程
在区间
上恰有两个相异实数根,若存在,求出
b
的范围,若不存在说明理由.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解析
试题分析:(Ⅰ)
2分
依题意得
,所以
,从而
4分
(Ⅱ)
令
,得
或
(舍去),
当
时,
当
由讨论知
在
的极小值为
;最大值为
或
,因为
,所以最大值为
,所以
……8分
(Ⅲ)设
,即
,
.
又
,令
,得
;令
,得
.
所以函数
的增区间
,减区间
.
要使方程有两个相异实根,则有
,解得
12分
点评:第一问利用函数在极值点处的导数为零得到系数的值,第二问第三问将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,进而利用函数导数求单调性求极值最值。这种转化思路在函数题目中经常用到,要加强这方面的训练
举一反三
已知函数
是定义在
上的奇函数,若对于任意给定的不等实数
、
,不等式
恒成立,则不等式
的解集为
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
若动直线
与函数
与
的图像分别交于
两点,则
的最大值为
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
上的奇函数,且
的图象关于直线x=1对称,当
时,
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
是定义在
上的奇函数,当
时,有
(其中
为自然对数的底,
).
(1)求函数
的解析式;
(2)设
,
,求证:当
时,
;
(3)试问:是否存在实数
,使得当
时,
的最小值是3?如果存在,求出实数
的值;如果不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
在下列函数中: ①
;②
;③
;④
;⑤
其中
且
;⑥
.其中最小值为2的函数是
(填入序号 ).
题型:填空题
难度:简单
|
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