(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1。(1)
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(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1。(1)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
(本小题满分12分)设函数
f
(
x
)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有
f
(m+n)=
f
(m)
f
(n),且当
x
>0时,0<
f
(
x
)<1。
(1)求证:
f
(0)=1,且当
x
<0时,有
f
(
x
)>1;
(2)判断
f
(
x
)在R上的单调性;
⑶设集合A={(
x
,
y
)|
f
(
x
2
)
f
(
y
2
)>
f
(1)},集合B={(
x
,
y
)|
f
(
ax
-
y
+2)=1,
a
∈R},若A∩B=
,求
a
的取值范围。
答案
解:⑴
f
(m+n)=
f
(m)
f
(n),令m=1,n=0,则
f
(1)=
f
(1)
f
(0),且由
x
>0时,0<
f
(
x
)<1,∴
f
(0)=1;设m=
x
<0,n=-
x
>0,∴
f
(0)=
f
(
x
)
f
(-
x
),∴
f
(
x
)=
>1。……………4分
⑵设
x
1
<
x
2
,则
x
2
-
x
1
>0,∴0<
f
(
x
2
-
x
1
)<1,∴
f
(
x
2
)-
f
(
x
1
)=
f
[(
x
2
-
x
1
)+
x
1
]-
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
-
x
1
)
f
(
x
1
)-
f
(
x
1
)=
f
(
x
1
)[
f
(
x
2
-
x
1
)-1]<0,∴
f
(
x
)在R上单调递减。……………8分
⑶∵
f
(
x
2
)
f
(
y
2
)>
f
(1),∴
f
(
x
2
+
y
2
)>
f
(1),由
f
(
x
)单调性知
x
2
+
y
2
<1,又
f
(
ax
-
y
+2)=1=
f
(0),
∴
ax
-
y
+2=0,又A∩B=
,∴
,∴
a
2
+1≤4,从而
。……12分
解析
略
举一反三
已知
,,则
的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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(本题满分12分)
设二次函数
,对任意实数
,有
恒成立;数列
满足
.
(1)求函数
的解析式;
(2)试写出一个区间
,使得当
时,
且数列
是递增数列,并说明理由;
(3)已知
,是否存在非零整数
,使得对任意
,都有
恒成立,若存在,求之;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
已知
在区间
上是减函数,则
的范围是(
)
A
.
B.
C
.
或
D
.
题型:单选题
难度:简单
|
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若函数
是函数
的反函数,且
的图象过点(2,1),则
_____
题型:填空题
难度:简单
|
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函数
图象的对称轴为
,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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