(本小题满分13分)设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意x,y∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,
题型:解答题难度:一般来源:不详
(本小题满分13分) 设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意x,y∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1,f(-)+f(+)=0.设Sn=aa+aa+aa+…+aa+aa. (1)求数列{an}的通项公式,并求Sn关于n的表达式; (2)设函数g(x)对任意x、y都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若g(1)=1,正项数列{bn}满足:b=g(),Tn为数列{bn}的前n项和,试比较4Sn与Tn的大小. |
答案
(1)an= . Sn=[1-]. (2)4Sn<Tn. |
解析
解:(1)当x,y∈(0,+∞)时,有f(xy)=f(x)+f(y), 令x=y=1得f(1)=2f(1),得f(1)=0,所以a1=f(1)+1=1.(1分) 因为f(-)+f(+)=0,所以f(-)=0=f(1). 又因为y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以-=1,即-=4,(3分) 所以数列{}是以1为首项,4为公差的等差数列,所以=4n-3,所以an= . ∵aa==[-], ∴Sn=[-+-+…+-]=[1-].(5分) (2)由于任意x,y∈R都有g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,则g(2x)=2g(x)+2x2, ∴g(1)=2g()+2·()2=2[2g()+2·()2]+=22g()++ =22[2g()+2·()2]++=23g()+++ =…=2ng()++++…++=1, ∴g()=,即b=. 又bn>0,∴bn=,(9分) ∴Tn=++…+=1-,又4Sn=1-. 当n=1,2,3,4时,4n+1>2n,∴4Sn>Tn;(10分) 当n≥5时,2n=C+C+C+…+C+C>1+2n+2=1+n2+n. 而n2+n+1-(4n+1)=n2-3n=n(n-3)>0,故4Sn<Tn.(13分) (用数学归纳法证明参照计分) |
举一反三
已知=2(x>0,y>0),则xy的最小值是( ) |
某市电力公司在电力供大于求时期为了鼓励居民用电,采用分段计费方法计算电费,每月用电不超过100度时,按每度0.57元计费;每月用电超过100度时,其中的100度仍按原标准收费,超过部分按每度0.5元计费. (1)设每月用电x度,应交电费y元,写出y关于x的函数关系. (2)小王家第一季度共用了多少度电?
月份
| 1月份
| 2月份
| 3月份
| 合计
| 缴费金额
| 76元
| 63元
| 45元6角
| 184元6角
| 问:小王家第一季度共用了多少度电? |
设a、b是实数,且的最小值是 ( )A.6 | B. | C. | D.8 |
|
函数,则函数的值域是 ( ) |
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