从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.(1)把铁盒的容积V
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从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.(1)把铁盒的容积V
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.
(1)把铁盒的容积V表示为x的函数,并指出其定义域;
(2)x为何值时,容积V有最大值.
答案
由题意得,V=x(2a-2x)
2
=4(a-x)
2
•x
∴
x>0
2a-2x>0
x
2a-2x
≤t
∴
0<x≤
2at
1+2t
∴函数V(x)=4(a-x)
2
•x的定义域为
(0,
2at
1+2t
]
V′=4(x-a)•(3x-a)令V′=0得
x=
a
3
(1)当
a
3
≤
2at
1+2t
,即
t≥
1
4
时,
∵
0<x<
a
3
时,V′>0.
V(x)为增函数;
a
3
<x≤
2at
1+2t
时,V′<0.V(x)为减函数;
∴V(x)在
(0,
2at
1+2t
]
上有极大值V(
a
3
),
∵
x=
a
3
为唯一驻点,
∴当
x=
a
3
时,V有最大值
16
27
a
3
.
(2)当
a
3
>
2at
1+2t
,即
0<t<
1
4
时,
∵
0<x<
2at
1+2t
时,V′>0恒成立;
∴V(x)为增函数;
∴当
x=
2at
1+2t
时,V有最大值
8
a
3
t
(1+2t)
3
.
举一反三
行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/小时)满足下列关系:y=
nx
100
+
x
2
400
(n为常数,n∈N).我们做过两次刹车实验,两次的结果分别是:当x
1
=40时,刹车距离为y
1
;当x
2
=70时,刹车距离为y
2
.且5<y
1
<7,13<y
2
<15.
(1)求出n的值;
(2)若汽车以80(千米/小时)的速度行驶,发现正前方15米处有一障碍物,紧急刹车,汽车与障碍物是否会相撞?
(3)若要求司机在正前方15米处发现有人就刹车(假设发现有人到刹车司机的反应有0.5秒的间隔),车必须在离人1米以外停住,试问这时汽车的最大限制速度应是多少?(保留整数;参考数据:
608
2
+4×9×14×3600
=
2184064
≈1478
)
题型:解答题
难度:一般
|
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某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2008年北京奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足关系式:x=3-
2
t+1
.已知2008年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若化妆品的年销售收入额为其年生产成本的150%与年促销费的一半之和.问:该企业2008年的促销费投入多少万元时,企业的年利润y(万元)最大?(利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
题型:解答题
难度:一般
|
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要制作一个容积为96πm
3
的圆柱形水池(无盖),已知池底的造价为30元/m
2
,水池侧面造价为20元/m
2
.如果不计其他费用,欲使建造的成本最低,则池底的半径应为______米.
题型:填空题
难度:一般
|
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某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务,已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人,他们加工完G型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位:小时,可不为整数).
(1)写出g(x),h(x)的解析式;
(2)比较g(x)与h(x)的大小,并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式;
(3)应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?
题型:解答题
难度:一般
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一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下,每天销售量为b件.经市场调查后得到如下规律:若对产品进行电视广告的宣传,每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现.
(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式;
(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%,则每天电视广告的播放量至少需多少次?
题型:解答题
难度:一般
|
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