某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元

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某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．
（1）求k的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．

答案

（1）由题意，设燃料费为W1=kv2，
∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，
∴当v=10时，W₁=96，可得96=k×10²，解之得k=0.96．
（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．
∴航行100海里的时间为

100

v

小时，可得其余航行运作费用为

100

v

×150=

15000

v

元
因此，航行100海里的总费用为
W=0.96v2?

100

v

+

15000

v

=96v+

15000

v

（0＜v≤15）
∵96v+

15000

v

≥2

1440000

=2400，
∴当且仅当96v=

15000

v

时，即v=

15000 96

=12.5＜15时，
航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．
答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．