已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式logax-4loga2x+12loga3x-…+n(-2)n-1loganx＞1-(-2)n3loga(x2-a)

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式logax-4loga2x+12loga3x-…+n(-2)n-1loganx＞

1-(-2)n

3

loga(x2-a)．

答案

利用对数换底公式，原不等式左端化为
log_ax-4•

logax

logaa2

+12•

logax

logaa3

++n（-2）^n-1•

logax

logaan

=[1-2+4++（-2）^n-1]log_ax
=

1-(-2)n

3

log_ax
故原不等式可化为

1-(-2)n

3

log_ax＞

1-(-2)n

3

log_a（x²-a）．①
当n为奇数时，

1-(-2)n

3

＞0，不等式①等价于
log_ax＞log_a（x²-a）．②
因为a＞1，②式等价于

x＞0 x2-a＞0 x＞x2-a

⇔

x＞0 |x＞ a x2-x-a＜0

⇔

x＞ a 1- 1+4a 2 ＜x＜ 1+ 1+4a 2

因为

1- 1+4a

2

＜0，

1+ 1+4a

2

＞

4a

2

=

a

，
所以，不等式②的解集为{x|

a

＜x＜

1+ 1+4a

2

}．
当n为偶数时，

1-(-2)n

3

＜0，不等式①等价于
log_ax＞log_a（x²-a）．③
因为a＞1，③式等价于

x＞0 x2-a＞0 x＜x2-a

⇔

x＞0 |x＞ a x2-x-a＞0

⇔

x＞ a x＜ 1- 1+4a 2

或

x＞ a x＞ 1+ 1+4a 2

因为

1- 1+4a

2

＜0，

1+ 1+4a

2

＞

4a

2

=

a

，
所以，不等式③的解集为{x|x＞

1+ 1+4a

2

}．
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|

a

＜x＜

1+ 1+4a

2

}；
当n为偶数时，原不等式的解集是{x|x＞

1+ 1+4a

2

}