设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f，求证：a·b＝1，＞1.

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0＜a＜b.
(1)求方程f(x)＝1的解；
(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f，
求证：a·b＝1，＞1.

答案

(1) x＝10或  (2)见解析

解析

(1)由f(x)＝1得，lg x＝±1，
所以x＝10或.
(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)，

从而－lg a＝lg b，从而ab＝1.
又＝，
令φ(b)＝＋b(b∈(1，＋∞))，
任取1＜b₁＜b₂，
∵φ(b₁)－φ(b₂)＝(b₁－b₂)＜0，
∴φ(b₁)＜φ(b₂)，
∴φ(b)在(1，＋∞)上为增函数．
∴φ(b)＞φ(1)＝2.
∴＞1.