已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.(1)求k的值;(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数. (1)求k的值; (2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围. |
答案
(1) (2) a的取值范围为{a|a>1或a=-2-2 } |
解析
解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx, 即(2k+1)x=0,∴k=- . (2)依题意令log4(4x+1)- x=log4 (a·2x-a), 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820153918-74729.png) 令t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满足题意. ①当a=1时,t=-1,不合题意,舍去. ②上式有一正一负根t1,t2, 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820153918-72680.png) 经验证满足a·2x-a>0,∴a>1. ③上式有两根相等,即Δ=0⇒a=±2 -2,此时t= ,若a=2( -1),则有t= <0,此时方程(1-a)t2+at+1=0无正根,故a=2( -1)舍去; 若a=-2( +1),则有t= >0,且a· 2x-a=a(t-1)=a = >0,因此a=-2( +1). 综上所述,a的取值范围为{a|a>1或a=-2-2 }. |
举一反三
若函数f(x)= ,则函数f(x)的定义域是( )A.(1,+∞) | B.(0,1)∪(1,+∞) | C.(-∞,-1)∪(-1,0) | D.(-∞,0)∪(0,1) |
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函数y=log2 的图象( )A.关于原点对称 | B.关于直线y=-x对称 | C.关于y轴对称 | D.关于直线y=x对称 |
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已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )A.a>b>c | B.a>c>b | C.b>a>c | D.c>a>b |
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若函数f(x)=log3(x2-2ax+5)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是( )A.[1,+∞) | B.(1,+∞) | C.[1,3) | D.[1,3] |
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设函数f(x)= 若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1) | B.(-∞,-1)∪(1,+∞) | C.(-1,0)∪(1,+∞) | D.(-∞,-1)∪(0,1) |
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