（本小题满分14分）函数.（1）若函数内单调递增，求a的取值范围；（2）求函数上的最小值.

题型：解答题难度：一般来源：不详

（本小题满分14分）函数.
（1）若函数内单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数上的最小值.

答案

（1）a的取值范围为［1,+∞)
（2）f(x)在［1,2］上的最小值为
①当0＜a≤时，f(x) _min=ln2-；
②当＜a＜1时，f(x) _min=-lna+1-.
③当a≥1时，f(x) _min=0

解析

解：f′(x)=  (x＞0). ………………………………………………………2分
（1）由已知，得f′(x)≥0在［1,+∞)上恒成立，
即a≥在［1,+∞)上恒成立
又∵当x∈［1,+∞)时，≤1，
∴ a≥1. 即a的取值范围为［1,+∞) …………………………………………………6分
（2）当a≥1时，∵ f′(x)＞0在（1，2）上恒成立，
f（x）在［1，2］上为增函数
∴ f（x）_min="f(1)=0" …………………………………………………………………………………8分
当0＜a≤，∵f′(x)＜0在（1，2）上恒成立，这时f(x)在［1,2］上为减函数
∴ f（x）_min=f(2)=ln2-.……………………………………………………………10分
当＜a＜1时，
∵x∈［1，)，f′(x)＜0； x∈(，2］，f′(x)＞0，
∴ f(x) _min=f()=-lna+1-.……………………………………………………12分
综上，f(x)在［1,2］上的最小值为
①当0＜a≤时，f(x) _min=ln2-；
②当＜a＜1时，f(x) _min=-lna+1-.
③当a≥1时，f(x) _min="0" ……………………………………………………………14分