已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.

已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.

题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.
答案
a的取值范围是:(1,3]∪[,1)
解析
当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0.
所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数,
∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3.                                4分
因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立.
只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3.                                       6分
当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0,
∴|f(x)|="-f(x).                                                        " 8分
∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数,
∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.
∴对于任意x∈[3,+∞)都有
|f(x)|=-f(x)≥-loga3.                                                     10分
因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立,
只要-loga3≥1成立即可,
∴loga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a<1.                                     12分
综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范围是:(1,3]∪[,1).   14分
举一反三
化简求值.
(1)log2+log212-log242-1;
(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;
(3)(log32+log92)·(log43+log83).
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方程log2(x+4)=3x实根的个数是(   )
A.0B.1C.2D.3

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函数y=的图象大致是(   )
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