已知a>0且a≠1,f(logax)=x2+2x-1(1)求f(x)的解析式和定义域;(2)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值是319,求实数a的值.
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已知a>0且a≠1,f(logax)=x2+2x-1(1)求f(x)的解析式和定义域;(2)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值是319,求实数a的值.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知a>0且a≠1,f(log
a
x)=x
2
+2x-1
(1)求f(x)的解析式和定义域;
(2)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值是
31
9
,求实数a的值.
答案
(1)由a>0且a≠1,f(log
a
x)=x
2
+2x-1,可得 x>0,
故函数的定义域为(0,+∞).
令t=log
a
x,则 x=a
t
,且f(t)=a
2t
+2a
t
-1,t∈R,
∴f(x)=a
2x
+2a
x
-1,x∈R.
(2)由于-1≤x≤1时,当a>1时,则
1
a
≤a
x
≤a.
令a
x
=m,则
1
a
≤m≤a,f(x)=g(m)=(a
x
+1)
2
-2=(m+1)
2
-2,
显然,g(m)在[
1
a
,a]上是增函数,故函数的最大值为g(a)=(a+1)
2
-2=
31
9
,
解得a=
4
3
.
当0<a<1时,则a≤a
x
≤
1
a
.
令a
x
=m,则 a≤m≤
1
a
,f(x)=g(m)=(a
x
+1)
2
-2=(m+1)
2
-2,
显然,g(m)在[a,
1
a
]上是增函数,故函数的最大值为g(
1
a
)=
(
1
a
+1)
2
-2=
31
9
,
解得a=
3
4
.
综上可得,a=
4
3
,或a=
3
4
.
举一反三
已知函数
f(x)=
3
x
,(x≤0)
lo
g
3
x,(x>0)
,则
f[f(-
1
4
)]
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若直角坐标平面内不同的两点P、Q满足条件:①P、Q都在函数f(x)=
lo
g
2
x(x>0)
-
x
2
-4x(x≤0)
y=f(x)的图象上
②P,Q关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数Y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).若函数,则此函数的“友好点对”有( )对.
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)=
2
x
,x≤1
lo
g
1
2
x,x>1
,则f(f(2))等于( )
A.
1
2
B.2
C.-1
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知f(x)=
1
2
x
(x≥4)
f(x+1)(x<4)
,则f(log
2
3)=( )
A.
1
24
B.
-
23
8
C.
1
11
D.
1
19
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且
f(
1
2
)
=2,则不等式f(log
4
x)>2的解集为( )
A.
(0,
1
2
)∪(2,+∞)
B.(2,+∞)
C.
(0,
2
2
)∪(
2
,+∞)
D.
(0,
2
2
)
题型:单选题
难度:简单
|
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