已知函数f（x）=log2（x+a）．（1）若0＜f(1-2x)-f(x)＜12，当a=1时，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log₂（x+a）．
（1）若0＜f(1-2x)-f(x)＜

1

2

，当a=1时，求x的取值范围；
（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-2]上的反函数h（x）；
（3）若关于x的不等式f(tx2-a+1)+f(

1

5-2x

-a)＞0在区间[

1

2

，2]上有解，求实数t的取值范围．

答案

（1）原不等式可化为0＜log2(2-2x)-log2(x+1)＜

1

2

…（1分）
所以1＜

2-2x

x+1

＜

2

且2-2x＞0且x+1＞0…（2分）
得3-2

2

＜x＜

1

3

…（2分）
（2）因为g（x）是奇函数，所以g（0）=0，得a=1…（1分）
当x∈[-3，-2]时，-x-2∈[0，1]g（x）=-g（x+2）=g（-x-2）=log₂（-x-1）…（2分）
此时g（x）∈[0，1]，x=-2^g（x）-1，所以h（x）=-2^x-1（x∈[0，1]）…（2分）
（3）由题意log2(tx2+1)+log2

1

5-2x

＞0，…（1分）
即log2(tx2+1)＞log2(5-2x)…（1分）
所以不等式tx²＞4-2x在区间[

1

2

，2]上有解，
即t＞(

4

x2

-

2

x

)min=0…（3分）
所以实数t的取值范围为（0，+∞）…（1分）