对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(x1+x22)>12[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.(1)

对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(x1+x22)>12[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.(1)

题型:解答题难度:一般来源:不详
对于函数f(x),其定义域为D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],则称f(x)为定义域上的凸函数.
(1)设f(x)=ax2(a>0),试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数,并说明原因;
(2)若函数f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)为其定义域上的凸函数,试求出实数a的取值范围.
答案
(1)f(x)不是其定义域上的凸函数.
f(x)的定义域为R,设x1≠x2,则
f(
x1+x2
2
)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]=a(
x1+x2
2
)
2
-
1
2
(ax12-ax22)=-
a(x1-x2)2
4
<0,…2分
∴f(
x1+x2
2
)<
1
2
[f(x1)+f(x2)],…4分
∴f(x)不是其定义域上的凸函数…6分
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)内是凸函数,
∴f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],…8分
loga
x1+x2
2
1
2
(logax1+logax2)=loga


x1x2
①…10分
∵x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2
(
x1+x2
2
)
2
-x1x2=
(x1-x2)2
4
>0,即
x1+x2
2


x1x2
…12分
故要①成立,则a>1.
∴实数a的取值范围是(1,+∞)…14分
举一反三
已知f(x)=log2
1-x
1+x
(-1<x<1)
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)若a,b∈(-1,1),证明:f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)

(3)证明对任意常数k∈R,f(x)=k有且仅有一解.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数y=log3x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且线段AB的中点在x轴上,则x1•x2=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=log3(2x2-5x-3)的单调递增区间是(  )
A.[
5
4
,+∞)
B.(-∞,
5
4
]
C.(3,+∞)D.(-∞,-
1
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=log
1
2
x
,给出下列四个命题:
①函数f(|x|)为偶函数;
②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,则ab=1;
③函数f(-x2+2x)在(1,+∞)上为单调增函数;
④若0<a<1,则|f(1+a)|<|f(1-a)|;
则正确命题的序号是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若-1≤log0.5x≤2,则有(  )
A.-1≤x≤2B.2≤x≤4C.
1
4
≤x≤2
D.
1
4
≤x≤
1
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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