已知函数f（x）=loga（a-ax）且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x对称．
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=loga（a-ax）且a＞1，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（3）证明函数图象关于y=x对称． |
答案
解析：（1）a-ax＞0
又∵a＞1，
∴x＜1
故其定义域为（-∞，1），值域为（-∞，1）
（2）设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴ax2＞ax1，于是a-ax2＜a-ax1
则loga（a-ax2）＜loga（a-ax1）
即f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在定义域（-∞，1）上是减函数
（3）证明：令y=loga（a-ax）（x＜1），则a-ax=ay，x=loga（a-ay）
∴f-1（x）=loga（a-ax）（x＜1）
故f（x）的反函数是其自身，得函数f（x）=loga（a-ax）（x＜1=图象关于y=x对称． |
举一反三
不等式log2（2x-1）•log2（2x+1-2）＜2的解集为（ ）| A．(log2，2) | B．(log2，log23) | | C．（-2，1） | D．(log2，2) |
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若θ是钝角，则满足等式log2（x2-x+2）=sinθ-cosθ的实数x的取值范围是（ ）| A．（-1，2） | B．（-1，0）∪（1，2） | C．[0，1] | D．[-1，0）∪（1，2] |
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下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）| A．y=log(x+1) | B．y=log2 | | C．y=log2 | D．y=log(x2-4x+5) |
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若函数f（x）=loga（x+1）在（-1，0）上有f′（x）＞0，则g（x）=loga（-x）（ ）| A．在（-∞，0）上是增函数 | B．在（-∞，0）上是减函数 | | C．在（-∞，-1）上是增函数 | D．在（-∞，-1）上是减函数 |
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函数y=(x＞1)的反函数是（ ）| A．y=e2x-1-1（x＞0） | B．y=e2x-1+1（x＞0） | | C．y=e2x-1-1（x∈R） | D．y=e2x-1+1（x∈R） |
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