设函数f(x)=lg(x+x2+1).(1)确定函数f (x)的定义域;(2)判断函数f (x)的奇偶性;(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数;(4
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设函数f(x)=lg(x+x2+1).(1)确定函数f (x)的定义域;(2)判断函数f (x)的奇偶性;(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数;(4
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)=lg(x+
x
2
+1
).
(1)确定函数f (x)的定义域;
(2)判断函数f (x)的奇偶性;
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数;
(4)求函数f(x)的反函数.
答案
(1)要使函数有意义,则
x+
x
2
+1
>0
,因为
x
2
+1
>
x
2
=|x|
,所以
x+
x
2
+1
>0
恒成立,所以定义域为R.
(2)
f(-x)=lg(-x+
x
2
+1
)=lg
1
x+
x
2
+1
=
lg
(x+
x
2
+1
)
-1
=-lg(x+
x
2
+1
)=-f(x)
,所以函数是奇函数.
(3)设x
1
<x
2
,则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=lg
x
1
+
x
21
+1
x
2
+
x
22
+1
.令
t=x+
x
2
+1
,因为函数是奇函数,所以当
则当0≤x
1
<x
2
时,有
x
1
2
<
x
2
2
,所以
x
21
+1
<
x
22
+1
,即
x
1
+
x
21
+1
<
x
2
+
x
22
+1
,所以
0<
x
1
+
x
21
+1
x
2
+
x
22
+1
<1
,即
lg
x
1
+
x
21
+1
x
2
+
x
22
+1
<0
,所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),所以函数f (x)在其定义域上是单调增函数.
(4)由
y=lg(x+
x
2
+1
)
得
x+
x
2
+1
=
10
y
,即
x
2
+1
=
10
y
-x
,平方得x
2
+1=10
2y
-2x⋅10
y
+x
2
,解得
x=
10
2y
-1
2⋅
10
y
,
所以原函数的反函数为
y=
f
-1
(x)=
10
2x
-1
2⋅
10
x
.
举一反三
已知函数
y=lo
g
1
4
x
与y=kx的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则k=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知log
m
7<log
n
7<0,则m,n,0,1间的大小关系是______.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
不等式
lo
g
1
3
(5+x)<
lo
g
1
3
(1-x)的解集为______.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
在等比数列
{
a
n
}中,
a
1
+
a
7
=65,
a
3
a
5
=64,且
a
n+1
<
a
n
,n∈
N
*
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
}的前5项的和S
5
(3)若T
n
=lga
2
+lga
4
+…+lga
2n
,求T
n
的最大值及此时n的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若5
lgx
=25,则x的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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